Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x)}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{\ln (x)}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 - \ln (x) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (x) = - 1$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $- \ln (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $- \ln (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.3.2.2.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Этап 3.3.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Этап 3.3.4

Перепишем $\ln (x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Этап 3.3.5

Перепишем уравнение в виде $x = e^{1}$ .

$x = e$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $e$ .

$e$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 5.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

Этап 7

Исключим интервалы, не входящие в область определения.

$(0, e)$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, e)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.35914085$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $1.35914085$ в степень $2$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

Этап 8.2.2

Заменим $e$ приближением.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

Этап 8.2.3

Логарифм $1.35914085$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

Этап 8.2.4

Умножим $- 1$ на $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

Этап 8.2.5

Вычтем $0.30685277$ из $1$ .

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

Этап 8.2.6

Разделим $0.69314722$ на $1.84726385$ .

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

Этап 8.2.7

Окончательный ответ: $0.37522914$ .

$0.37522914$

Этап 8.3

При $x = 1.35914085$ производная имеет вид $0.37522914$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, e)$ .

Возрастание в области $(0, e)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Исключим интервалы, не входящие в область определения.

$(0, e), (e, \infty)$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(e, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.7182817$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $3.7182817$ в степень $2$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

Этап 10.2.2

Заменим $e$ приближением.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

Этап 10.2.3

Логарифм $3.7182817$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

Этап 10.2.4

Умножим $- 1$ на $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

Этап 10.2.5

Вычтем $1.31326165$ из $1$ .

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

Этап 10.2.6

Разделим $- 0.31326165$ на $13.8256188$ .

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

Этап 10.2.7

Окончательный ответ: $- 0.02265805$ .

$- 0.02265805$

Этап 10.3

При $x = 3.7182817$ производная имеет вид $- 0.02265805$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(e, \infty)$ .

Убывание на $(e, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, e)$

Убывание на: $(e, \infty)$

Этап 12