Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{4} {(i^{2} + 1)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(i^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ .

$(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$

Этап 1.2

Развернем $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$i^{2} (i^{2} + 1) + 1 (i^{2} + 1)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 (i^{2} + 1)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $i^{2}$ на $i^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$i^{4} + i^{2} + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $i^{2}$ и $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{4} i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $1$ в степень $4$ .

$1 + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.2

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$1 + 2 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$3 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.5

Добавим $3$ и $1$ .

$4 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.6

Возведем $2$ в степень $4$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 4 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $4$ .

$4 + 16 + 8 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.9

Добавим $16$ и $8$ .

$4 + 24 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.10

Добавим $24$ и $1$ .

$4 + 25 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.11

Добавим $4$ и $25$ .

$29 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.12

Возведем $3$ в степень $4$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.13

Возведем $3$ в степень $2$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 9 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.14

Умножим $2$ на $9$ .

$29 + 81 + 18 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.15

Добавим $81$ и $18$ .

$29 + 99 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.16

Добавим $99$ и $1$ .

$29 + 100 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.17

Добавим $29$ и $100$ .

$129 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.18

Возведем $4$ в степень $4$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Этап 3.19

Возведем $4$ в степень $2$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 16 + 1$

Этап 3.20

Умножим $2$ на $16$ .

$129 + 256 + 32 + 1$

Этап 3.21

Добавим $256$ и $32$ .

$129 + 288 + 1$

Этап 3.22

Добавим $288$ и $1$ .

$129 + 289$

Этап 3.23

Добавим $129$ и $289$ .

$418$