Математический анализ Примеры

$5 e^{3 t} = 8 e^{2 t}$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5 e^{3 t}) = \ln (8 e^{2 t})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (5 e^{3 t})$ в виде $\ln (5) + \ln (e^{3 t})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{3 t}) = \ln (8 e^{2 t})$

Этап 2.2

Развернем $\ln (e^{3 t})$ , вынося $3 t$ из логарифма.

$\ln (5) + 3 t \ln (e) = \ln (8 e^{2 t})$

Этап 2.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (5) + 3 t \cdot 1 = \ln (8 e^{2 t})$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8 e^{2 t})$

Этап 3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\ln (8 e^{2 t})$ в виде $\ln (8) + \ln (e^{2 t})$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + \ln (e^{2 t})$

Этап 3.2

Развернем $\ln (e^{2 t})$ , вынося $2 t$ из логарифма.

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t \ln (e)$

Этап 3.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\ln (5) + 3 t = \ln (8) + 2 t$

Этап 4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (5) - \ln (8) = - 3 t + 2 t$

Этап 5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5}{8}) = - 3 t + 2 t$

Этап 6

Добавим $- 3 t$ и $2 t$ .

$\ln (\frac{5}{8}) = - t$

Этап 7

Поскольку $t$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- t = \ln (\frac{5}{8})$

Этап 8

Разделим каждый член $- t = \ln (\frac{5}{8})$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $- t = \ln (\frac{5}{8})$ на $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Этап 8.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (\frac{5}{8})}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{5}{8})$

Этап 8.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (\frac{5}{8})$ в виде $- \ln (\frac{5}{8})$ .

$t = - \ln (\frac{5}{8})$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$t = - \ln (\frac{5}{8})$

Десятичная форма:

$t = 0.47000362 \dots$