Математический анализ Примеры

$y = - 3 x^{2} - x$ , $[5, 6]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$- 3 x^{2} - x = 0$

Этап 1.2

Решим $- 3 x^{2} - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- 3 x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- x$ из $- 3 x^{2}$ .

$- x (3 x) - x = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x$ .

$- x (3 x) - x \cdot 1 = 0$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (3 x) - x (1)$ .

$- x (3 x + 1) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x + 1 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 1.2.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 1.2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 1.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 1.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (3 x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{1}{3}$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- \frac{1}{3}, 0)$

$(0, 0)$

$(- \frac{1}{3}, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{5}^{6} 0 d x - \int_{5}^{6} - 3 x^{2} - x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $5$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{5}^{6} 0 - (- 3 x^{2} - x) d x$

Этап 3.2

Вычтем $- 3 x^{2} - x$ из $0$ .

$\int_{5}^{6} - (- 3 x^{2} - x) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{5}^{6} - (- 3 x^{2}) + x d x$

Этап 3.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\int_{5}^{6} 3 x^{2} + x d x$

Этап 3.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{5}^{6} 3 x^{2} d x + \int_{5}^{6} x d x$

Этап 3.6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{5}^{6} x^{2} d x + \int_{5}^{6} x d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{5}^{6}) + \int_{5}^{6} x d x$

Этап 3.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{5}^{6}) + \int_{5}^{6} x d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{5}^{6}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{6}$

Этап 3.10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $6$ и в $5$ .

$3 ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{6}$

Этап 3.10.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $6$ и в $5$ .

$3 (\frac{6^{3}}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$3 (\frac{216}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.2

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{72}{1} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.2.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$3 (72 - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$3 (72 - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.4

Чтобы записать $72$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (72 \cdot \frac{3}{3} - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.5

Объединим $72$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{72 \cdot 3}{3} - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{72 \cdot 3 - 125}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.7.1

Умножим $72$ на $3$ .

$3 \frac{216 - 125}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.7.2

Вычтем $125$ из $216$ .

$3 (\frac{91}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.8

Объединим $3$ и $\frac{91}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 91}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.9

Умножим $3$ на $91$ .

$\frac{273}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.10

Сократим общий множитель $273$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $273$ .

$\frac{3 \cdot 91}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 91}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 91}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{91}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.10.2.4

Разделим $91$ на $1$ .

$91 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.11

Возведем $6$ в степень $2$ .

$91 + \frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $36$ .

$91 + \frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.13

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$91 + \frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.13.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$91 + 18 - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Этап 3.10.3.14

Возведем $5$ в степень $2$ .

$91 + 18 - \frac{1}{2} \cdot 25$

Этап 3.10.3.15

Умножим $25$ на $- 1$ .

$91 + 18 - 25 (\frac{1}{2})$

Этап 3.10.3.16

Объединим $- 25$ и $\frac{1}{2}$ .

$91 + 18 + \frac{- 25}{2}$

Этап 3.10.3.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$91 + 18 - \frac{25}{2}$

Этап 3.10.3.18

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$91 + 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 3.10.3.19

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$91 + \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 3.10.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$91 + \frac{18 \cdot 2 - 25}{2}$

Этап 3.10.3.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.21.1

Умножим $18$ на $2$ .

$91 + \frac{36 - 25}{2}$

Этап 3.10.3.21.2

Вычтем $25$ из $36$ .

$91 + \frac{11}{2}$

Этап 3.10.3.22

Чтобы записать $91$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$91 \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{2}$

Этап 3.10.3.23

Объединим $91$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{91 \cdot 2}{2} + \frac{11}{2}$

Этап 3.10.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{91 \cdot 2 + 11}{2}$

Этап 3.10.3.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.25.1

Умножим $91$ на $2$ .

$\frac{182 + 11}{2}$

Этап 3.10.3.25.2

Добавим $182$ и $11$ .

$\frac{193}{2}$

Этап 4