Математический анализ Примеры

$- 3 x^{2} + 12 y^{2} = 84$

Этап 1

Добавим $3 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $12 y^{2} = 84 + 3 x^{2}$ на $12$ .

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 y^{2}}{12} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{84}{12} + \frac{3 x^{2}}{12}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим $84$ на $12$ .

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{12}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$y^{2} = 7 + \frac{3 (x^{2})}{12}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 7 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

Этап 2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 7 + \frac{x^{2}}{4}$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{7 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{7 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 4.2

Объединим $7$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 \cdot 4 + x^{2}}{4}}$

Этап 4.4

Умножим $7$ на $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{28 + x^{2}}{4}}$

Этап 4.5

Перепишем $\frac{28 + x^{2}}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $28 + x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{4}}$

Этап 4.5.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 4.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (28 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (28 + x^{2})}$

Этап 4.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{28 + x^{2}}$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{28 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{28 + x^{2}}}{2}$

Этап 6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{28 + x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$28 + x^{2} \geq 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $28$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} \geq - 28$

Этап 7.2

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 8

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 9

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

Этап 10

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Диапазон: $(- \infty, - \sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty), {y | y \leq - \sqrt{7}, y \geq \sqrt{7}}$

Этап 11