Математический анализ Примеры

$f' (x) = (2 x - 1) (x + 1) (x - 3)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = (2 x - 1) (x + 1)$ и $g (x) = x - 3$ .

$(2 x - 1) (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(2 x - 1) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $2 x - 1$ на $1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(2 x - 1) (x + 1)]$

Этап 1.1.3

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) ((2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) ((2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 1.1.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) ((2 x - 1) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 1.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) ((2 x - 1) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 1.1.4.4.2

Умножим $2 x - 1$ на $1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Этап 1.1.4.5

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.1.4.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.1.4.8

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 1.1.4.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) (2 + 0))$

Этап 1.1.4.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.10.1

Добавим $2$ и $0$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + (x + 1) \cdot 2)$

Этап 1.1.4.10.2

Перенесем $2$ влево от $x + 1$ .

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + 2 \cdot (x + 1))$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) (x + 1) + (x - 3) (2 x - 1 + 2 x + 2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) x + (2 x - 1) \cdot 1 + (x - 3) (2 x - 1 + 2 x + 2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x - 1 x + (2 x - 1) \cdot 1 + (x - 3) (2 x - 1 + 2 x + 2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (x - 3) (2 x - 1 + 2 x + 2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.9

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.10.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 1} - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} - 1 x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} - x + 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.6

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{2} - x + 2 x - 1 \cdot 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x^{2} - x + 2 x - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.8

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.12

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.13

Умножим $2$ на $- 3$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.14

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 6 x - 1 \cdot x - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.15

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 6 x - x - 3 \cdot - 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.16

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 6 x - x + 3 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.17

Вычтем $x$ из $- 6 x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + x (2 x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.18

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.19

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.21

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.22

Умножим $2$ на $- 3$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 6 x + x (2 \cdot 1) - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.23

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot 2 - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.24

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 6 x + 2 \cdot x - 3 (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.10.25

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 6 x + 2 x - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.10.26

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 6 x + 2 x - 6$

Этап 1.1.5.10.27

Добавим $- 6 x$ и $2 x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 2 x^{2} - 7 x + 3 + 2 x^{2} - 4 x - 6$

Этап 1.1.5.10.28

Добавим $2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 4 x^{2} - 7 x + 3 - 4 x - 6$

Этап 1.1.5.10.29

Вычтем $4 x$ из $- 7 x$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 4 x^{2} - 11 x + 3 - 6$

Этап 1.1.5.10.30

Вычтем $6$ из $3$ .

$2 x^{2} + x - 1 + 4 x^{2} - 11 x - 3$

Этап 1.1.5.10.31

Добавим $2 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} + x - 1 - 11 x - 3$

Этап 1.1.5.10.32

Вычтем $11 x$ из $x$ .

$6 x^{2} - 10 x - 1 - 3$

Этап 1.1.5.10.33

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 10 x - 4$

Этап 1.2

Первая производная $f' (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 10 x - 4$ .

$6 x^{2} - 10 x - 4$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 10 x - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 10 x - 4 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2} - 10 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 10 x - 4 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x) - 4 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- 2) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2}) + 2 (- 5 x)$ .

$2 (3 x^{2} - 5 x) + 2 (- 2) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{2} - 5 x) + 2 (- 2)$ .

$2 (3 x^{2} - 5 x - 2) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$2 (3 x^{2} - 5 x - 2) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$2 (3 x^{2} + (1 - 6) x - 2) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$2 (3 x^{2} + x - 6 x - 2) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((3 x^{2} + x) - 6 x - 2) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$2 ((3 x + 1) (x - 2)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (3 x + 1) (x - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (3 x + 1) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- \frac{1}{3}, 2$ .

$- \frac{1}{3}, 2$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{1}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 6 {(- 1.\overline{3})}^{2} - 10 \cdot - 1.\overline{3} - 4$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.\overline{3}$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 6 \cdot 1.77777779 - 10 \cdot - 1.\overline{3} - 4$

Этап 5.2.1.2

Умножим $6$ на $1.77777779$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 10.66666677 - 10 \cdot - 1.\overline{3} - 4$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 10$ на $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 10.66666677 + 13.3333334 - 4$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $10.66666677$ и $13.3333334$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 24.00000017 - 4$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $4$ из $24.00000017$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 20.00000017$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $20.00000017$ .

$20.00000017$

Этап 5.3

При $x = - 1.\overline{3}$ производная имеет вид $20.00000017$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \frac{1}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{1}{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 0.\overline{3}, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.8\overline{3}$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = 6 {(0.8\overline{3})}^{2} - 10 \cdot 0.8\overline{3} - 4$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.8\overline{3}$ в степень $2$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = 6 \cdot 0.69444443 - 10 \cdot 0.8\overline{3} - 4$

Этап 6.2.1.2

Умножим $6$ на $0.69444443$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = 4.16666663 - 10 \cdot 0.8\overline{3} - 4$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 10$ на $0.8\overline{3}$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = 4.16666663 - 8.3333333 - 4$

Этап 6.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $8.3333333$ из $4.16666663$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = - 4.1\overline{6} - 4$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $4$ из $- 4.1\overline{6}$ .

$f'' (0.8\overline{3}) = - 8.1\overline{6}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 8.1\overline{6}$ .

$- 8.1\overline{6}$

Этап 6.3

При $x = 0.8\overline{3}$ производная имеет вид $- 8.1\overline{6}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 0.\overline{3}, 2)$ .

Убывание на $(- \frac{1}{3}, 2)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f'' (3) = 6 {(3)}^{2} - 10 \cdot 3 - 4$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (3) = 6 \cdot 9 - 10 \cdot 3 - 4$

Этап 7.2.1.2

Умножим $6$ на $9$ .

$f'' (3) = 54 - 10 \cdot 3 - 4$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 10$ на $3$ .

$f'' (3) = 54 - 30 - 4$

Этап 7.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $30$ из $54$ .

$f'' (3) = 24 - 4$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $4$ из $24$ .

$f'' (3) = 20$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $20$ .

$20$

Этап 7.3

При $x = 3$ производная имеет вид $20$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \frac{1}{3}), (2, \infty)$

Убывание на: $(- \frac{1}{3}, 2)$

Этап 9