Математический анализ Примеры

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

Этап 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

Этап 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

Этап 2.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $y^{3} - 27 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Этап 2.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 27$ является константой относительно $x$ , производная $- 27 y$ по $x$ равна $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y' - 27 y'$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 90$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 90$ является константой относительно $x$ , производная $- 90$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

Этап 2.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y' - 27 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 27 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ .

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

Этап 2.5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

Этап 2.5.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 3$ .

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

Этап 2.5.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

Этап 2.5.4

Разделим каждый член $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ на $3 (y + 3) (y - 3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Разделим каждый член $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ на $3 (y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Этап 2.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Этап 2.5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Этап 2.5.4.2.2

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Этап 2.5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Этап 2.5.4.2.3

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Этап 2.5.4.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Этап 2.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 x = 0$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 90$

Этап 4.2.2

Вычтем $90$ из $0$ .

$f (0) = - 90$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- 90$ .

$- 90$

Этап 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

Этап 6