Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x - 2 x^{2} - x^{3}$ , $g (x) = 0$

Этап 1

Подставим $0$ вместо $f (x)$ .

$0 = 8 x - 2 x^{2} - x^{3}$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $8 x - 2 x^{2} - x^{3} = 0$ .

$8 x - 2 x^{2} - x^{3} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$8 u - 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $8 u - 2 u^{2} - u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $8 u$ .

$u \cdot 8 - 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Этап 2.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- 2 u^{2}$ .

$u \cdot 8 + u (- 2 u) - u^{3} = 0$

Этап 2.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{3}$ .

$u \cdot 8 + u (- 2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 8 + u (- 2 u)$ .

$u \cdot (8 - 2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.5

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot (8 - 2 u) + u (- u^{2})$ .

$u (8 - 2 u - u^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Запишем $8$ как $9$ плюс $- 1$

$u (9 - 1 - 2 u - u^{2}) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u (9 - (1^{2} + 2 u + u^{2})) = 0$

Этап 2.2.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot 1 \cdot u$

Этап 2.2.4.3

Перепишем многочлен.

$u (9 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2})) = 0$

Этап 2.2.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = u$ .

$u (9 - {(1 + u)}^{2}) = 0$

Этап 2.2.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$u (3^{2} - {(1 + u)}^{2}) = 0$

Этап 2.2.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = 1 + u$ .

$u ((3 + 1 + u) (3 - (1 + u))) = 0$

Этап 2.2.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Избавимся от ненужных скобок.

$u ((3 + 1 + u) (3 - (1 + u))) = 0$

Этап 2.2.7.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$u ((4 + u) (3 - (1 + u))) = 0$

Этап 2.2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u ((4 + u) (3 - 1 \cdot 1 - u)) = 0$

Этап 2.2.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u ((4 + u) (3 - 1 - u)) = 0$

Этап 2.2.7.1.5

Вычтем $1$ из $3$ .

$u ((4 + u) (2 - u)) = 0$

Этап 2.2.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$u (4 + u) (2 - u) = 0$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (4 + x) (2 - x) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 + x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $4 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $4 + x$ к $0$ .

$4 + x = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.6

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 2.6.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (4 + x) (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, - 4, 2$