Математический анализ Примеры

$f (x) = 1 - x^{2}$ ; $[0, 3]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$1 - x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $1 - x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 1$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.3

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $1$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 1$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 1 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 1 - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- x^{2} + 1$ .

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} - x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1}$

Этап 4.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + x]_{0}^{1}$

Этап 4.8.2

Найдем значение $x$ в $1$ и в $0$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1 + 0$

Этап 4.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1 + 0$

Этап 4.8.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 1 + 0$

Этап 4.8.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 1 + 0$

Этап 4.8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1 + 0$

Этап 4.8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1 + 0$

Этап 4.8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 1 + 0$

Этап 4.8.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{1}{3} - 0) + 1 + 0$

Этап 4.8.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{1}{3} + 0) + 1 + 0$

Этап 4.8.3.5

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$- \frac{1}{3} + 1 + 0$

Этап 4.8.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{1}{3} + 1$

Этап 4.8.3.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 4.8.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 3}{3}$

Этап 4.8.3.9

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 5

$A r e a = \int_{1}^{3} 0 d x - \int_{1}^{3} - x^{2} + 1 d x$

Этап 6

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{3} 0 - (- x^{2} + 1) d x$

Этап 6.2

Вычтем $- x^{2} + 1$ из $0$ .

$\int_{1}^{3} - (- x^{2} + 1) d x$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{3} x^{2} - 1 \cdot 1 d x$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int_{1}^{3} x^{2} - 1 d x$

Этап 6.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Этап 6.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Этап 6.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + - x]_{1}^{3}$

Этап 6.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$ и $- x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x]_{1}^{3}$

Этап 6.8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} - x$ в $3$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$\frac{27}{3} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.3

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{1} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9 - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$9 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.5

Вычтем $3$ из $9$ .

$6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$6 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.7

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$6 - (\frac{1}{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.8.2.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 - (\frac{1}{3} - 1)$

Этап 6.8.2.2.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$6 - (\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 6.8.2.2.10

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$6 - (\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

Этап 6.8.2.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 - \frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 6.8.2.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.12.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 - \frac{1 - 3}{3}$

Этап 6.8.2.2.12.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$6 - \frac{- 2}{3}$

Этап 6.8.2.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 - - \frac{2}{3}$

Этап 6.8.2.2.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 + 1 (\frac{2}{3})$

Этап 6.8.2.2.15

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$6 + \frac{2}{3}$

Этап 6.8.2.2.16

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 6.8.2.2.17

Объединим $6$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 6.8.2.2.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 \cdot 3 + 2}{3}$

Этап 6.8.2.2.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.19.1

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{18 + 2}{3}$

Этап 6.8.2.2.19.2

Добавим $18$ и $2$ .

$\frac{20}{3}$

Этап 7

Сложим площади $\frac{2}{3} + \frac{20}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + 20}{3}$

Этап 7.2

Добавим $2$ и $20$ .

$\frac{22}{3}$

Этап 8