Математический анализ Примеры

$f (x, y) = 8 x^{3} y - 7 y^{2} + 2 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $8 x^{3} y - 7 y^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $8 y$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3} y$ по $x$ равна $8 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$24 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3

Поскольку $- 7 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$24 y x^{2} + 0 + 2$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $24 y x^{2}$ и $0$ .

$24 y x^{2} + 2$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 24 x^{2} y + 2$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $24 x^{2} y + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $24 y$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{2} y$ по $x$ равна $24 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 y (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $24$ .

$48 y x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$48 y x + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $48 y x$ и $0$ .

$48 y x$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $48 y x$ .

$f'' (x) = 48 x y$