Математический анализ Примеры

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

Этап 1

Среднее квадратическое значение (ср. кв.) функции $f$ на заданном интервале $[a, b]$ равно квадратному корню из среднеарифметического значения квадратов исходных значений.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Этап 2

Подставим фактические значения в формулу для среднего квадратического функции.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

Этап 3

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (x)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Этап 3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

Этап 3.6

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.6.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

Этап 3.6.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$u_{lower} = - 4$

Этап 3.6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Этап 3.6.5

Умножим $2$ на $4$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 3.6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

Этап 3.6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 3.7

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 3.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

Этап 3.9

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Этап 3.10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Найдем значение $x$ в $4$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Этап 3.10.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $8$ и в $- 4$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

Этап 3.10.3

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1.1

Найдем значение $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

Этап 3.11.1.1.2

Найдем значение $\sin (- 4)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

Этап 3.11.1.1.3

Умножим $- 1$ на $0.75680249$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

Этап 3.11.1.2

Вычтем $0.75680249$ из $0.98935824$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

Этап 3.11.1.3

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.3.1

Умножим $0.23255575$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

Этап 3.11.1.3.2

Объединим $- 0.23255575$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

Этап 3.11.1.4

Разделим $- 0.23255575$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

Этап 3.11.2

Вычтем $0.11627787$ из $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

Этап 3.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5.88372212$ .

$\frac{5.88372212}{2}$

Этап 3.11.4

Разделим $5.88372212$ на $2$ .

$2.94186106$

Этап 4

Упростим формулу среднего квадратического значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{4 + 2}$ и $2.94186106$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

Этап 4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ и $2$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

Этап 4.2.2

Разделим $2.94186106$ на $6$ .

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Десятичная форма:

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$