Математический анализ Примеры

$y = x^{4}$ , $[- 1, 1]$

Этап 1

Среднее квадратическое значение (ср. кв.) функции $f$ на заданном интервале $[a, b]$ равно квадратному корню из среднеарифметического значения квадратов исходных значений.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Этап 2

Подставим фактические значения в формулу для среднего квадратического функции.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{2} d x)}$

Этап 3

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot 2} d x$

Этап 3.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{8} d x$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $x^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{9}]_{- 1}^{1}$

Этап 3.3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем значение $\frac{1}{9} x^{9}$ в $1$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{9} \cdot 1^{9}) - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Этап 3.3.2.3

Возведем $- 1$ в степень $9$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 1$

Этап 3.3.2.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{9})$

Этап 3.3.2.5

Умножим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{1}{9}$

Этап 3.3.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 1}{9}$

Этап 3.3.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{9}$

Этап 4

Упростим формулу среднего квадратического значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{1 + 1}$ на $\frac{2}{9}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{(1 + 1) \cdot 9}}$

Этап 4.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Этап 4.3

Сократим выражение $\frac{2}{2 \cdot 9}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Этап 4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Этап 4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{9}}$

Этап 4.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 4.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f_{rms} = \frac{1}{3}$

Этап 5