Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$

Этап 1

Возьмем производную от $\int_{1}^{\sqrt{x}} 18 t^{7} d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 {\sqrt{x}}^{7})$

Этап 9

Перепишем ${\sqrt{x}}^{7}$ в виде $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 \sqrt{x^{7}})$

Этап 10

Объединим $18$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{7}}$

Этап 11

Объединим $\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $\sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{18 \sqrt{x^{7}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Вынесем множитель $2$ из $18 \sqrt{x^{7}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (9 \sqrt{x^{7}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

Перепишем $\frac{9 \sqrt{x^{7}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде $\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем $x^{7}$ в виде ${(x^{3})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вынесем $x^{6}$ за скобки.

$\frac{9 \sqrt{x^{6} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.1.2

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{{(x^{3})}^{2} x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{9 (x^{3} \sqrt{x})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (x^{3} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16

Умножим $x^{3}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 x^{3 + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{6 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.5.2

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$9 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 18

Умножим $x^{\frac{7}{2}}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{7}{2}})$

Этап 18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{7}{2}}$

Этап 18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 x^{\frac{- 1 + 7}{2}}$

Этап 18.4

Добавим $- 1$ и $7$ .

$9 x^{\frac{6}{2}}$

Этап 18.5

Разделим $6$ на $2$ .

$9 x^{3}$