Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \cot (x)} = \sin (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Этап 3.4.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Этап 3.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Этап 3.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из ${\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (\cos (x))}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x)}$

Этап 3.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\sin (x) + \cos (x)}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\sin (x)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{1 + \cot (x)} = \sin (x)$ — тождество