Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x e^{- x}$ из $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x e^{- x}$ из $- x^{2} e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + 2 x e^{- x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x e^{- x}$ из $2 x e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x e^{- x}$ из $x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2)$ .

$x e^{- x} (- x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.5.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 2.6

Приравняем $- x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $- x + 2$ к $0$ .

$- x + 2 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $- x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x e^{- x} (- x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 2$ .

$0, 2$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f' (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Этап 5.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - 1 e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Этап 5.2.1.5

Перепишем $- 1 e$ в виде $- e$ .

$f' (- 1) = - e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 \cdot e^{- (- 1)}$

Этап 5.2.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 e$

Этап 5.2.2

Вычтем $2 e$ из $- e$ .

$f' (- 1) = - 3 e$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 3 e$ .

$- 3 e$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 3 e$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.5

Перепишем $- 1 \frac{1}{e}$ в виде $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)}$

Этап 6.2.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1}$

Этап 6.2.1.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e}$

Этап 6.2.1.9

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Этап 6.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2}{e}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f' (1) = \frac{1}{e}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Этап 6.3

При $x = 1$ производная имеет вид $\frac{1}{e}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, 2)$ .

Возрастание в области $(0, 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - {(3)}^{2} e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = - 1 \cdot (9 e^{- (3)}) + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f' (3) = - 9 e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (3) = - 9 e^{- 3} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Этап 7.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - 9 \frac{1}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Этап 7.2.1.5

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = \frac{- 9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Этап 7.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- (3)}$

Этап 7.2.1.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- 3}$

Этап 7.2.1.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Этап 7.2.1.10

Объединим $6$ и $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + \frac{6}{e^{3}}$

Этап 7.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (3) = \frac{- 9 + 6}{e^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Добавим $- 9$ и $6$ .

$f' (3) = \frac{- 3}{e^{3}}$

Этап 7.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (3) = - \frac{3}{e^{3}}$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{3}{e^{3}}$ .

$- \frac{3}{e^{3}}$

Этап 7.3

При $x = 3$ производная имеет вид $- \frac{3}{e^{3}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Убывание на $(2, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, 2)$

Убывание на: $(- \infty, 0), (2, \infty)$

Этап 9