Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x - 24$ ; $[2, 6]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$8 x - 24 = 0$

Этап 1.2

Решим $8 x - 24 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$8 x = 24$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $8 x = 24$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $8 x = 24$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{24}{8}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{24}{8}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{24}{8}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $24$ на $8$ .

$x = 3$

Этап 1.3

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(3, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{2}^{3} 0 d x - \int_{2}^{3} 8 x - 24 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $2$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{2}^{3} 0 - (8 x - 24) d x$

Этап 3.2

Вычтем $8 x - 24$ из $0$ .

$\int_{2}^{3} - (8 x - 24) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{3} - (8 x) + 24 d x$

Этап 3.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 x - - 24$

Этап 3.4.2

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$- 8 x + 24$

$\int_{2}^{3} - 8 x + 24 d x$

Этап 3.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} - 8 x d x + \int_{2}^{3} 24 d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$- 8 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} 24 d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 24 d x$

Этап 3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 24 d x$

Этап 3.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + 24 x]_{2}^{3}$

Этап 3.10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $2$ .

$- 8 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 24 x]_{2}^{3}$

Этап 3.10.2

Найдем значение $24 x$ в $3$ и в $2$ .

$- 8 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 8 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 2) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.5

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 8 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 8 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 8 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.8.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 8 \frac{9 - 4}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.8.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$- 8 (\frac{5}{2}) + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.9

Объединим $- 8$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 8 \cdot 5}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.10

Умножим $- 8$ на $5$ .

$\frac{- 40}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.11

Сократим общий множитель $- 40$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 40$ .

$\frac{2 \cdot - 20}{2} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 20}{2 (1)} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 1} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 20}{1} + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.11.2.4

Разделим $- 20$ на $1$ .

$- 20 + 24 \cdot 3 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.12

Умножим $24$ на $3$ .

$- 20 + 72 - 24 \cdot 2$

Этап 3.10.3.13

Умножим $- 24$ на $2$ .

$- 20 + 72 - 48$

Этап 3.10.3.14

Вычтем $48$ из $72$ .

$- 20 + 24$

Этап 3.10.3.15

Добавим $- 20$ и $24$ .

$4$

Этап 4

$A r e a = \int_{3}^{6} 8 x - 24 d x - \int_{3}^{6} 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{3}^{6} 8 x - 24 - (0) d x$

Этап 5.2

Вычтем $0$ из $8 x - 24$ .

$\int_{3}^{6} 8 x - 24 d x$

Этап 5.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{3}^{6} 8 x d x + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Этап 5.4

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{3}^{6} x d x + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Этап 5.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 24 d x$

Этап 5.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + - 24 x]_{3}^{6}$

Этап 5.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $6$ и в $3$ .

$8 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + - 24 x]_{3}^{6}$

Этап 5.8.2

Найдем значение $- 24 x$ в $6$ и в $3$ .

$8 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$8 (\frac{36}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.2

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{18}{1} - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.2.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$8 (18 - \frac{3^{2}}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$8 (18 - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.4

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.5

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \frac{18 \cdot 2 - 9}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.7.1

Умножим $18$ на $2$ .

$8 \frac{36 - 9}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.7.2

Вычтем $9$ из $36$ .

$8 (\frac{27}{2}) - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.8

Объединим $8$ и $\frac{27}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 27}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.9

Умножим $8$ на $27$ .

$\frac{216}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.10

Сократим общий множитель $216$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $216$ .

$\frac{2 \cdot 108}{2} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 108}{2 (1)} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 108}{2 \cdot 1} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{108}{1} - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.10.2.4

Разделим $108$ на $1$ .

$108 - 24 \cdot 6 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.11

Умножим $- 24$ на $6$ .

$108 - 144 + 24 \cdot 3$

Этап 5.8.3.12

Умножим $24$ на $3$ .

$108 - 144 + 72$

Этап 5.8.3.13

Добавим $- 144$ и $72$ .

$108 - 72$

Этап 5.8.3.14

Вычтем $72$ из $108$ .

$36$

Этап 6

Добавим $4$ и $36$ .

$40$

Этап 7