Математический анализ Примеры

$y = e^{x}$ ; $[0, 5]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$e^{x} = 0$

Этап 1.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 1.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 1.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{5} e^{x} d x - \int_{0}^{5} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{5} 0 - (e^{x}) d x$

Этап 3.1.2

Вычтем $e^{x}$ из $0$ .

$\int_{0}^{5} - e^{x} d x$

Этап 3.1.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{5} e^{x} d x$

Этап 3.1.4

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$- (e^{x}]_{0}^{5})$

Этап 3.1.5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Найдем значение $e^{x}$ в $5$ и в $0$ .

$- ((e^{5}) - e^{0})$

Этап 3.1.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- (e^{5} - 1 \cdot 1)$

Этап 3.1.5.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (e^{5} - 1)$

Этап 3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- e^{5} - - 1$

Этап 3.1.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- e^{5} + 1$

Этап 3.2

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{5} e^{x} - (0) d x$

Этап 3.3

Вычтем $0$ из $e^{x}$ .

$\int_{0}^{5} e^{x} d x$

Этап 3.4

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{5}$

Этап 3.5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем значение $e^{x}$ в $5$ и в $0$ .

$(e^{5}) - e^{0}$

Этап 3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e^{5} - 1 \cdot 1$

Этап 3.5.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{5} - 1$

Этап 4