Математический анализ Примеры

$y = e^{2 x}$ ; $[0, 4]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$e^{2 x} = 0$

Этап 1.2

Решим $e^{2 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Этап 1.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 1.2.3

Нет решения для $e^{2 x} = 0$

Нет решения

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{4} e^{2 x} d x - \int_{0}^{4} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{4} e^{2 x} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{4} e^{2 x} d x$

Этап 3.3

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $4$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 3.3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Этап 3.3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{8} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3.4

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{8} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 3.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8} e^{u} d u$

Этап 3.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{8}$

Этап 3.7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Найдем значение $e^{u}$ в $8$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{8}) - e^{0})$

Этап 3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{8} - 1 \cdot 1)$

Этап 3.7.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{8} - 1)$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} e^{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 3.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{8}$ .

$\frac{e^{8}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 3.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{e^{8}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.8.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 4