Математический анализ Примеры

Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на интервале ${\displaystyle [a,b]}$ и дифференцируема на ${\displaystyle (a,b)}$, тогда на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ существует хотя бы одно вещественное число ${\displaystyle c}$, такое что ${\displaystyle f\mathrm{<mo>\prime </mo>}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-fa}{b-a}}$. Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при ${\displaystyle x=c}$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки ${\displaystyle (a,f\left(a\right))}$ и ${\displaystyle (b,f\left(b\right))}$.

Функция является дифференцируемой на ${\displaystyle (0,6)}$, поскольку производная является непрерывной на ${\displaystyle (0,6)}$.

${\displaystyle f\left(x\right)}$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области ${\displaystyle [0,6]}$, дифференцируемое в области ${\displaystyle (0,6)}$.

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки ${\displaystyle a=0}$ и ${\displaystyle b=6}$, находится в точке ${\displaystyle x=3}$.