Математический анализ Примеры

$\frac{1}{3 x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{3 x^{2}} d x$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{3 x^{2}} \cdot (d x) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $d$ и $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$\int \frac{d}{3 x^{2}} \cdot x d x$

Этап 4.2

Объединим $\frac{d}{3 x^{2}}$ и $x$ .

$\int \frac{d x}{3 x^{2}} d x$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $d x$ .

$\int \frac{x d}{3 x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\int \frac{x d}{x (3 x)} d x$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x d}{x (3 x)} d x$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{d}{3 x} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{d}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{d}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{d}{3} \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{d}{3} (\ln (| x |) + C)$

Этап 7

Перепишем $\frac{d}{3} (\ln (| x |) + C)$ в виде $\frac{1}{3} d \ln (| x |) + C$ .

$\frac{1}{3} d \ln (| x |) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{3 x^{2}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d \ln (| x |) + C$