Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 1

Запишем $\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ в виде функции.

$f (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (θ)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (θ) = \int \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Этап 4

Умножим на $1$ .

$\int \frac{\sin (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Этап 5

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos^{2} (θ)$ .

$\int \frac{\sin (θ) \cdot 1}{\cos (θ) \cos (θ)} d θ$

Этап 6

Разделим дроби.

$\int \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} d θ$

Этап 7

Переведем $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ в $\tan (θ)$ .

$\int \tan (θ) \frac{1}{\cos (θ)} d θ$

Этап 8

Переведем $\frac{1}{\cos (θ)}$ в $\sec (θ)$ .

$\int \tan (θ) \sec (θ) d θ$

Этап 9

Поскольку производная $\sec (θ)$ равна $\tan (θ) \sec (θ)$ , интеграл $\tan (θ) \sec (θ)$ равен $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

$F (θ) =$ $\sec (θ) + C$