Математический анализ Примеры

$36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

Этап 1

Запишем $36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ в виде функции.

$f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 36 e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 5

Поскольку $36$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $36$ из-под знака интеграла.

$36 \int e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 6

Пусть $u_{1} = - 4 x$ . Тогда $d u_{1} = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = - 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$36 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$36 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 7.2

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$36 \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$36 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $36$ .

$- 36 \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- 36 (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 36$ .

$\frac{- 36}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $- 36$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 36$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 11.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 11.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 11.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 9}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 11.2.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$- 9 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 12

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 13

Поскольку $24$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $24$ из-под знака интеграла.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Этап 14

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 14.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 14.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 14.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 15.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 16

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}) + \int 4 d x$

Этап 17

Умножим $- 1$ на $24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 18

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 4 d x$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 24}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 19.2

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 19.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 19.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 19.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 12}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 19.2.2.4

Разделим $- 12$ на $1$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 20

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + \int 4 d x$

Этап 21

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + 4 x + C$

Этап 22

Упростим.

$- 9 e^{u_{1}} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

Этап 23

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 4 x$ .

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

Этап 23.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 x$ .

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$

Этап 24

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ .

$F (x) =$ $- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$