Математический анализ Примеры

$\frac{1}{9 (x^{2} + 1)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{9 (x^{2} + 1)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{9 (x^{2} + 1)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{9 (x^{2} + 1)} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$\frac{1}{9} (\arctan (x) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{9} \arctan (x) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{9 (x^{2} + 1)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{9} \arctan (x) + C$