Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 1

Запишем $\frac{\ln (x)}{x} d x$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\ln (x)}{x} \cdot (d x) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $d$ и $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{d \ln (x)}{x} \cdot x d x$

Этап 4.2

Объединим $\frac{d \ln (x)}{x}$ и $x$ .

$\int \frac{d \ln (x) x}{x} d x$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{d \ln (x) x}{x} d x$

Этап 4.3.2

Разделим $d \ln (x)$ на $1$ .

$\int d \ln (x) d x$

Этап 5

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int \ln (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$d (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$d (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$d (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$d (\ln (x) x - \int d x)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$d (\ln (x) x - (x + C))$

Этап 9

Упростим.

$d (\ln (x) x - x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\ln (x)}{x} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $d (\ln (x) x - x) + C$