Математический анализ Примеры

$4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = 4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x^{- 2} d x + \int 6 \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x^{- 2} d x + \int 6 \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 6 \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Этап 7

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 \int \sqrt{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Этап 8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{6}{x^{2}} d x$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - \int \frac{6}{x^{2}} d x$

Этап 11

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - (6 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (6 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 12.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 12.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 12.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 12.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 \int x^{- 2} d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 6 (- x^{- 1} + C)$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим.

$- \frac{4}{x} + 4 x^{\frac{3}{2}} - 6 (- x^{- 1}) + C$

Этап 14.2

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$- \frac{4}{x} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{- 1} + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 4 x^{- 2} + 6 \sqrt{x} - \frac{6}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{- 1} + C$