Математический анализ Примеры

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3} d x$

Этап 4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\int \sqrt{5 x (x + 3)} d x$

Этап 5

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 3$

Этап 5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 3$

Этап 5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 3$

Этап 5.1.3

Умножим $3$ на $5$ .

$5 x^{2} + 15 x$

Этап 5.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 5$

$b = 15$

$c = 0$

Этап 5.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot 5}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель $15$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

Этап 5.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

Этап 5.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{2}$

Этап 5.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 5}$

Этап 5.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.1.2

Умножим $4$ на $5$ .

$e = 0 - \frac{225}{20}$

Этап 5.5.2.1.3

Сократим общий множитель $225$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.3.1

Вынесем множитель $5$ из $225$ .

$e = 0 - \frac{5 (45)}{20}$

Этап 5.5.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{45}{4}$

Этап 5.5.2.2

Вычтем $\frac{45}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{45}{4}$

Этап 5.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ .

$\int \sqrt{5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}} d x$

Этап 6

Пусть $u = x + \frac{3}{2}$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x + \frac{3}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{2}]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x + \frac{3}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

Этап 6.1.4

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{5 u^{2} - \frac{45}{4}} d u$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u^{2} - \frac{45}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u^{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2}) - \frac{45}{4}} d u$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- \frac{45}{4}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})} d u$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2} - \frac{9}{4})} d u$

Этап 7.2

Перепишем $\frac{9}{4}$ в виде ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})} d u$

Этап 8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = u$ и $b = \frac{3}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Этап 9

Чтобы записать $u$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $u$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (\frac{u \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Этап 10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \sqrt{5 \frac{u \cdot 2 + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

Этап 11

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

Этап 12

Чтобы записать $u$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

Этап 13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $u$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (\frac{u \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

Этап 13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{u \cdot 2 - 3}{2}} d u$

Этап 14

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{2 u - 3}{2}} d u$

Этап 15

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $5$ и $\frac{2 u + 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3)}{2} \cdot \frac{2 u - 3}{2}} d u$

Этап 15.2

Умножим $\frac{5 (2 u + 3)}{2}$ на $\frac{2 u - 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{2 \cdot 2}} d u$

Этап 15.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}} d u$

Этап 16

Перепишем $\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $5 (2 u + 3) (2 u - 3)$ .

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{4}} d u$

Этап 16.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}} d u$

Этап 16.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))} d u$

Этап 17

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$\int \frac{1}{2} \sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)} d u$

Этап 17.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}$ .

$\int \frac{\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Этап 17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{\sqrt{(5 (2 u) + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Этап 17.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Этап 17.4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 15) (2 u - 3)}}{2} d u$

Этап 18

Развернем $(10 u + 15) (2 u - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u - 3) + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

Этап 18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

Этап 18.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Этап 19

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u \cdot u + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Этап 19.1.2

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.1

Перенесем $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 (u \cdot u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Этап 19.1.2.2

Умножим $u$ на $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Этап 19.1.3

Умножим $10$ на $2$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Этап 19.1.4

Умножим $- 3$ на $10$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Этап 19.1.5

Умножим $2$ на $15$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Этап 19.1.6

Умножим $15$ на $- 3$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u - 45}}{2} d u$

Этап 19.2

Добавим $- 30 u$ и $30 u$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 0 - 45}}{2} d u$

Этап 19.3

Добавим $20 u^{2}$ и $0$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 45}}{2} d u$

Этап 20

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 u^{2} - 45} d u$

Этап 21

Пусть $u = \frac{3}{2} \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ положительно.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Упростим $\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.3

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{1} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.4

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.5

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1.6.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.6.2

Применим правило умножения к $3 \sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.9

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1.9.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 (5) \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{5 (9 \sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.1.10

Умножим $9$ на $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.2

Вынесем множитель $45$ из $45 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.3

Вынесем множитель $45$ из $- 45$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.4

Вынесем множитель $45$ из $45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t) - 1)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.6

Перепишем $45 \tan^{2} (t)$ в виде ${(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.6.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{9 (5) \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.6.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \cdot 5 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.6.3

Перенесем $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.6.4

Перепишем $3^{2} \tan^{2} (t)$ в виде ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{2} \int 3 \tan (t) \sqrt{5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 22.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Объединим $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ и $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{3 \sec (t) \tan (t) \cdot 3}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

Этап 22.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

Этап 22.2.3

Объединим $\frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2}$ и $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Этап 22.2.4

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Этап 22.2.5

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Этап 22.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} \sqrt{5} d t$

Этап 22.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Этап 22.2.8

Объединим $\frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ и $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

Этап 23

Поскольку $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{9 \sqrt{5}}{2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Этап 24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Умножим $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{2 \cdot 2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 24.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 25

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 26

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Этап 27

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \cdot - 1 + \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 27.2

Упростим каждый член.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Этап 28

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 29

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 30

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 31

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Этап 32

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sec (t)$ и $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Этап 33

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Этап 34

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 35

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 36

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 36.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 36.2

Изменим порядок $\tan^{2} (t)$ и $\sec (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Этап 37

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Этап 38

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 38.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 38.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 38.3

Изменим порядок $\sec (t)$ и $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 39

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Этап 40

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 41

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 42

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 43

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Этап 44

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Этап 45

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Этап 46

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 47

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 48

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 49

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 49.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 49.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 50

Найдя решение для $\int \sec^{3} (t) d t$ , получим $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Этап 51

Умножим $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ на $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Этап 52

Упростим.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Этап 53

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 53.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Этап 53.2

Добавим $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ и $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Этап 53.3

Умножим $\frac{9 \sqrt{5}}{4}$ на $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

Этап 53.4

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Этап 54

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 54.1

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) |))}{8} + C$

Этап 54.2

Заменим все вхождения $u$ на $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Этап 55

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 55.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Этап 55.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 55.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 55.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Этап 55.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Этап 55.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 55.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 55.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Этап 55.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Этап 55.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 55.6.1

Сократим общий множитель.

Этап 55.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Этап 55.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Этап 55.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 55.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Этап 55.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) |))}{8} + C$

Этап 56

Изменим порядок членов.

$\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

Этап 57

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$