Математический анализ Примеры

$3^{x + 1} d x$

Этап 1

Запишем $3^{x + 1} d x$ в виде функции.

$f (x) = 3^{x + 1} d x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3^{x + 1} d x d x$

Этап 4

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int 3^{x + 1} x d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = 3^{x + 1}$ .

$d (x (\frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1}) - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{\ln (3)}$ и $3^{x + 1}$ .

$d (x \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{3^{x + 1}}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{\ln (3)}$ и $3^{x + 1}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} d x)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{\ln (3)}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{\ln (3)}$ из-под знака интеграла.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{x + 1} d x))$

Этап 8

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 8.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{u} d u)$

Этап 9

Интеграл $3^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ в виде $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Чтобы записать $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3)}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Этап 10.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\ln^{2} (3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ на $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Этап 10.2.2.2

Возведем $\ln (3)$ в степень $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Этап 10.2.2.3

Возведем $\ln (3)$ в степень $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Этап 10.2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{{\ln (3)}^{1 + 1}} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Этап 10.2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{2} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Этап 10.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$d \frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

Этап 10.2.4

Объединим $d$ и $\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)}$ .

$\frac{d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u})}{\ln^{2} (3)} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3^{x + 1} d x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$