Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Этап 4

Перепишем $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ в виде $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 6

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 6.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int u d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

Этап 8.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{2} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$u^{2} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln^{2} (x) + C$