Математический анализ Примеры

$8 x (x^{7} - \frac{1}{8})$

Этап 1

Запишем $8 x (x^{7} - \frac{1}{8})$ в виде функции.

$f (x) = 8 x (x^{7} - \frac{1}{8})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 8 x (x^{7} - \frac{1}{8}) d x$

Этап 4

Умножим $8 x (x^{7} - \frac{1}{8})$ .

$\int 8 x \cdot x^{7} + 8 x (- \frac{1}{8}) d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $x$ на $x^{7}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перенесем $x^{7}$ .

$\int 8 (x^{7} x) + 8 x (- \frac{1}{8}) d x$

Этап 5.1.2

Умножим $x^{7}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 8 (x^{7} x^{1}) + 8 x (- \frac{1}{8}) d x$

Этап 5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 8 x^{7 + 1} + 8 x (- \frac{1}{8}) d x$

Этап 5.1.3

Добавим $7$ и $1$ .

$\int 8 x^{8} + 8 x (- \frac{1}{8}) d x$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\int 8 x^{8} - 8 x \frac{1}{8} d x$

Этап 5.3

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{8}$ .

$\int 8 x^{8} + x \frac{- 8}{8} d x$

Этап 5.4

Объединим $x$ и $\frac{- 8}{8}$ .

$\int 8 x^{8} + \frac{x \cdot - 8}{8} d x$

Этап 5.5

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$\int 8 x^{8} + \frac{- 8 \cdot x}{8} d x$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $- 8$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x$ .

$\int 8 x^{8} + \frac{8 (- x)}{8} d x$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\int 8 x^{8} + \frac{8 (- x)}{8 (1)} d x$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\int 8 x^{8} + \frac{8 (- x)}{8 \cdot 1} d x$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\int 8 x^{8} + \frac{- x}{1} d x$

Этап 5.6.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$\int 8 x^{8} - x d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 8 x^{8} d x + \int - x d x$

Этап 7

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int x^{8} d x + \int - x d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$8 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int - x d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - \int x d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$8 (\frac{1}{9}) x^{9} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 11.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{8}{9} x^{9} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 8 x (x^{7} - \frac{1}{8})$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{9} x^{9} - \frac{1}{2} x^{2} + C$