Математический анализ Примеры

$2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7

Объединим $\sec^{2} (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 9.3

Умножим $\int \sec^{2} (u) d u$ на $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 10

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\tan (u) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 12

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\tan (u) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 12.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (u) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 12.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int x^{- 2} d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\tan (u) + C - (- x^{- 1} + C)$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим.

$\tan (u) - - \frac{1}{x} + C$

Этап 14.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (u) + 1 \frac{1}{x} + C$

Этап 14.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\tan (u) + \frac{1}{x} + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$