Математический анализ Примеры

$2 x^{3} - 3 x^{- 4} + \sec^{2} (x)$

Этап 1

Запишем $2 x^{3} - 3 x^{- 4} + \sec^{2} (x)$ в виде функции.

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{- 4} + \sec^{2} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 x^{3} - 3 x^{- 4} + \sec^{2} (x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 7

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 3 \int x^{- 4} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 9.2

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 9.3

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 10

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \tan (x) + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{3}} + \tan (x) + C$

Этап 11.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{x^{3}} + \tan (x) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{- 4} + \sec^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{x^{3}} + \tan (x) + C$