Математический анализ Примеры

$\frac{1}{(1 + 4 x^{2})}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{(1 + 4 x^{2})}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{(1 + 4 x^{2})}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x$

Этап 4

Вынесем множитель $4$ из $1 + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $4$ из $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Этап 4.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Этап 4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (\frac{1}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + x^{2})} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + x^{2}} d x$

Этап 6

Перепишем $\frac{1}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Этап 8.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{2}}) + C)$

Этап 8.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (x \cdot 2) + C)$

Этап 8.1.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$

Этап 8.2

Перепишем $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 x) + C)$ в виде $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 x) + C$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 x) + C$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 x) + C$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 x) + C$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \arctan (2 x) + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arctan (2 x) + C$