Математический анализ Примеры

$\frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 5

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (x^{8} + x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

Развернем $(x^{8} + x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{8} + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{8} x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{8 - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.4

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.5

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{8 \cdot 2 - 1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $8$ на $2$ .

$\int x^{\frac{16 - 1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.9

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.10

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.12.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{\frac{15}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{15}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 11

Перепишем $- 1 x^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим.

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 14.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{8} + x^{2} - 1}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{17} x^{\frac{17}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$