Математический анализ Примеры

$- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Этап 1

Запишем $- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ в виде функции.

$f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Этап 6

Поскольку $48$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $48$ из-под знака интеграла.

$- (48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Этап 7

Умножим $48$ на $- 1$ .

$- 48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Этап 8

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2)}^{2}}$

Этап 8.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2 (1))}^{2}}$

Этап 8.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{{(2 (x + 1))}^{2}}$

Этап 8.1.1.2

Применим правило умножения к $2 (x + 1)$ .

$\frac{1}{2^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 8.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 8.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 8.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $2^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 8.1.5

Сократим общий множитель $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 8.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 8.1.6

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 8.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 8.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.1

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 8.1.7.1.2

Разделим $(A) \cdot (2^{2})$ на $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{2}) + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 8.1.7.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$1 = A \cdot 4 + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 8.1.7.3

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$1 = 4 \cdot A + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Этап 8.1.7.4

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.4.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{x + 1}$

Этап 8.1.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.4.2.1

Умножим на $1$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 8.1.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 8.1.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$1 = 4 A + \frac{B (2^{2} (x + 1))}{1}$

Этап 8.1.7.4.2.4

Разделим $B (2^{2} (x + 1))$ на $1$ .

$1 = 4 A + B (2^{2} (x + 1))$

Этап 8.1.7.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 4 A + 2^{2} B (x + 1)$

Этап 8.1.7.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$1 = 4 A + 4 B (x + 1)$

Этап 8.1.7.7

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B \cdot 1$

Этап 8.1.7.8

Умножим $4$ на $1$ .

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B$

Этап 8.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.8.1

Перенесем $B$ .

$1 = 4 A + 4 x B + 4 B$

Этап 8.1.8.2

Изменим порядок $4 A$ и $4 x B$ .

$1 = 4 x B + 4 A + 4 B$

Этап 8.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 4 B$

Этап 8.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 4 A + 4 B$

Этап 8.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

Этап 8.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Решим относительно $B$ в $0 = 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $4 B = 0$ .

$4 B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Этап 8.3.1.2

Разделим каждый член $4 B = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Разделим каждый член $4 B = 0$ на $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Этап 8.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Этап 8.3.1.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Этап 8.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Этап 8.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $1 = 4 A + 4 B$ на $0$ .

$1 = 4 A + 4 (0)$

$B = 0$

Этап 8.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Упростим $4 A + 4 (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$1 = 4 A + 0$

$B = 0$

Этап 8.3.2.2.1.2

Добавим $4 A$ и $0$ .

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

Этап 8.3.3

Решим относительно $A$ в $1 = 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = 0$

Этап 8.3.3.2

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Этап 8.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Этап 8.3.3.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Этап 8.3.4

Решим систему уравнений.

$A = \frac{1}{4} B = 0$

Этап 8.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{4}, B = 0$

Этап 8.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Этап 8.5.2

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Этап 8.5.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Этап 8.5.4

Разделим $0$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + 0$

Этап 8.5.5

Удалим ноль из выражения.

$- 48 \int \frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- 48 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 48$ .

$\frac{- 48}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $- 48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 48$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Этап 10.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4 (1)} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Этап 10.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Этап 10.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 12}{1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Этап 10.2.2.4

Разделим $- 12$ на $1$ .

$- 12 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Этап 11

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- 12 \int \frac{1}{u^{2}} d u + \int 48 d x$

Этап 12

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 12 \int {(u^{2})}^{- 1} d u + \int 48 d x$

Этап 12.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \int u^{2 \cdot - 1} d u + \int 48 d x$

Этап 12.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 12 \int u^{- 2} d u + \int 48 d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- 12 (- u^{- 1} + C) + \int 48 d x$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 12 (- u^{- 1} + C) + 48 x + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим.

$- 12 (- \frac{1}{u}) + 48 x + C$

Этап 15.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$12 \frac{1}{u} + 48 x + C$

Этап 15.2.2

Объединим $12$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{12}{u} + 48 x + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$

Этап 17

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ .

$F (x) =$ $\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$