Математический анализ Примеры

$3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$

Этап 1

Запишем $3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{- 3} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{- 3} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Этап 7.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Этап 8

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + \int 16 x^{7} d x$

Этап 11

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + 16 \int x^{7} d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + 16 (\frac{1}{8} x^{8} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x^{8}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + 16 (\frac{x^{8}}{8} + C)$

Этап 13.2

Упростим.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + 16 \frac{x^{8}}{8} + C$

Этап 13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Объединим $16$ и $\frac{x^{8}}{8}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{16 x^{8}}{8} + C$

Этап 13.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Вынесем множитель $8$ из $16 x^{8}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{8 (2 x^{8})}{8} + C$

Этап 13.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{8 (2 x^{8})}{8 (1)} + C$

Этап 13.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{8 (2 x^{8})}{8 \cdot 1} + C$

Этап 13.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{8}}{1} + C$

Этап 13.3.2.2.4

Разделим $2 x^{8}$ на $1$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + 2 x^{8} + C$

Этап 13.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{8} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{8} + C$