Математический анализ Примеры

$\frac{5}{9 x^{2} + 36}$

Этап 1

Запишем $\frac{5}{9 x^{2} + 36}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{5}{9 x^{2} + 36}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{5}{9 x^{2} + 36} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{1}{9 x^{2} + 36} d x$

Этап 5

Изменим порядок $9 x^{2}$ и $36$ .

$5 \int \frac{1}{36 + 9 x^{2}} d x$

Этап 6

Вынесем множитель $9$ из $36 + 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $9$ из $36$ .

$5 \int \frac{1}{9 \cdot 4 + 9 x^{2}} d x$

Этап 6.2

Вынесем множитель $9$ из $9 \cdot 4$ .

$5 \int \frac{1}{9 (4) + 9 x^{2}} d x$

Этап 6.3

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$5 \int \frac{1}{9 (4) + 9 (x^{2})} d x$

Этап 6.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (4) + 9 (x^{2})$ .

$5 \int \frac{1}{9 (4 + x^{2})} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $5$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Этап 8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{5}{9} \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\frac{5}{9} (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{5}{9} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Этап 10.2

Перепишем $\frac{5}{9} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$ в виде $\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ .

$\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\frac{5}{9}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{9 \cdot 2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 10.3.2

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{5}{18} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{5}{9 x^{2} + 36}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{18} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$