Математический анализ Примеры

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{2 y^{3}}$

Этап 1

Запишем $\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{2 y^{3}}$ в виде функции.

$f (y) = \frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{2 y^{3}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (y)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (y)$ .

$F (y) = \int f (y) d y$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (y) = \int \frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{2 y^{3}} d y$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{y^{3}}{2} d y + \int \frac{1}{2 y^{3}} d y$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int y^{3} d y + \int \frac{1}{2 y^{3}} d y$

Этап 6

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int \frac{1}{2 y^{3}} d y$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{2} \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Этап 8.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{2} \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Этап 8.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{2} \int y^{- 3} d y$

Этап 9

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} y^{- 2} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} y^{- 2}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} y^{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} y^{- 2}) + C$

Этап 10.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{8} y^{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} y^{- 2}) + C$

Этап 10.2.3

Объединим $y^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} y^{4} + \frac{1}{2} (- \frac{y^{- 2}}{2}) + C$

Этап 10.2.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{y^{- 2}}{2}$ .

$\frac{1}{8} y^{4} - \frac{y^{- 2}}{2 \cdot 2} + C$

Этап 10.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{8} y^{4} - \frac{y^{- 2}}{4} + C$

Этап 10.2.6

Перенесем $y^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{8} y^{4} - \frac{1}{4 y^{2}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (y) = \frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{2 y^{3}}$ .

$F (y) =$ $\frac{1}{8} y^{4} - \frac{1}{4 y^{2}} + C$