Математический анализ Примеры

$\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

Этап 1

Запишем $\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \tan^{9} (x) \sec^{4} (x) d x$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\int \tan^{9} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Этап 4.2

Перепишем ${\sec (x)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{9} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{9} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Этап 6

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 6.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{9} (1 + u^{2}) d u$

Этап 7

Умножим $u^{9} (1 + u^{2})$ .

$\int u^{9} \cdot 1 + u^{9} u^{2} d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $u^{9}$ на $1$ .

$\int u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Этап 8.2

Умножим $u^{9}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Этап 8.2.2

Добавим $9$ и $2$ .

$\int u^{9} + u^{11} d u$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{9} d u + \int u^{11} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{9}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \int u^{11} d u$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{11}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \frac{1}{12} u^{12} + C$

Этап 12

Упростим.

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{1}{12} u^{12} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$