Математический анализ Примеры

${(6 x + 5)}^{2} d x$

Этап 1

Запишем ${(6 x + 5)}^{2} d x$ в виде функции.

$f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(6 x + 5)}^{2} d x d x$

Этап 4

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int {(6 x + 5)}^{2} x d x$

Этап 5

Пусть $u = 6 x + 5$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 6 x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $6 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $6 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $6$ и $0$ .

$6$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$d \int u^{2} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) \frac{1}{6} d u$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{6}$ и $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} + \frac{u^{2}}{6} (- \frac{5}{6}) d u$

Этап 7.2

Изменим порядок $\frac{u^{2}}{6}$ и $- 1$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} - 1 \cdot \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Этап 7.3

Умножим $\frac{u^{2}}{6}$ на $\frac{u}{6}$ .

$d \int \frac{u^{2} u}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Этап 7.4

Возведем $u$ в степень $1$ .

$d \int \frac{u^{2} u^{1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Этап 7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$d \int \frac{u^{2 + 1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Этап 7.6

Добавим $2$ и $1$ .

$d \int \frac{u^{3}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Этап 7.7

Умножим $6$ на $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Этап 7.8

Объединим $- 1 \frac{u^{2}}{6}$ и $\frac{5}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2}}{6} \cdot 5}{6} d u$

Этап 7.9

Объединим $\frac{u^{2}}{6}$ и $5$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2} \cdot 5}{6}}{6} d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем $5$ влево от $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{5 \cdot u^{2}}{6}}{6} d u$

Этап 8.2

Перепишем $- 1 \frac{5 u^{2}}{6}$ в виде $- \frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6} d u$

Этап 8.3

Перепишем $\frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6}$ в виде произведения.

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6} \cdot \frac{1}{6} d u$

Этап 8.4

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6 \cdot 6} d u$

Этап 8.5

Умножим $6$ на $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{36} d u$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$d (\int \frac{u^{3}}{36} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{36}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{36}$ из-под знака интеграла.

$d (\frac{1}{36} \int u^{3} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Этап 13

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Этап 14

Поскольку $\frac{5}{36}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{5}{36}$ из-под знака интеграла.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{5}{36} \int u^{2} d u))$

Этап 15

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Этап 16.2

Упростим.

$d (\frac{u^{4}}{144} - \frac{5 u^{3}}{108}) + C$

Этап 17

Заменим все вхождения $u$ на $6 x + 5$ .

$d (\frac{{(6 x + 5)}^{4}}{144} - \frac{5 {(6 x + 5)}^{3}}{108}) + C$

Этап 18

Изменим порядок членов.

$d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$

Этап 19

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$ .

$F (x) =$ $d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$