Математический анализ Примеры

$| x^{2} - 4 x + 3 |$

Этап 1

Запишем $| x^{2} - 4 x + 3 |$ в виде функции.

$f (x) = | x^{2} - 4 x + 3 |$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int | x^{2} - 4 x + 3 | d x$

Этап 4

Приравняем аргумент модуля к $0$ , чтобы найти возможные значения, на которые разобьется решение.

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим уравнение относительно $x$ .

$x = 3, 1$

Этап 5.2

Зададим интервалы вокруг решений, чтобы узнать, где $x^{2} - 4 x + 3$ принимает положительные и отрицательные значения.

$(- \infty, 1), (1, 3), (3, \infty)$

Этап 5.3

Подставим значение на каждом интервале в $x^{2} - 4 x + 3$ , чтобы определить знак выражения на каждом из них.

$\begin{array}{c} Интервал & Знак на интервале \\ (- \infty, 1) & + \\ (1, 3) & - \\ (3, \infty) & + \end{array}$

Этап 5.4

Проинтегрируем аргумент модуля.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Составим интеграл с аргументом модуля.

$\int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Этап 5.4.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 5.4.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Этап 5.4.4

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Этап 5.4.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

Этап 5.4.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Этап 5.4.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

Этап 5.4.8

Упростим.

$\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Этап 5.4.9

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Этап 5.5

На интервалах, где аргумент отрицателен, умножим значение интеграла на $- 1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C & x \leq 1 \\ - (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C) & 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C & x > 3 \end{cases}$

Этап 5.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

${\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C & x \leq 1 \\ - (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C) & 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C & x > 3 \end{cases}$

Этап 5.7

Упростим.

${\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x & x \leq 1 \\ - (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x) & 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x & x > 3 \end{cases} + C$

Этап 5.8

Изменим порядок членов.

${\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x & x \leq 1 \\ - (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x) & 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x & x > 3 \end{cases} + C$

Этап 6

Ответ ― первообразная функции $f (x) = | x^{2} - 4 x + 3 |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x & x \leq 1 \\ - (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x) & 1 < x \leq 3 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x & x > 3 \end{cases} + C$