Математический анализ Примеры

$\frac{\ln^{4} (x)}{4 x}$

Этап 1

Запишем $\frac{\ln^{4} (x)}{4 x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\ln^{4} (x)}{4 x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\ln^{4} (x)}{4 x} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{\ln^{4} (x)}{x} d x$

Этап 5

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 5.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{4} \int u^{4} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ в виде $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 5} u^{5} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{1}{20} \ln^{5} (x) + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\ln^{4} (x)}{4 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{20} \ln^{5} (x) + C$