Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

Этап 4.1.2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- x$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Этап 4.1.2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.3.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 5

Вынесем $x^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 6.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 7.2

Умножим $x^{- \frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 7.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

Этап 7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

Этап 7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

Этап 7.6

Вычтем $3$ из $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

Этап 7.7

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

Этап 7.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

Этап 7.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

Этап 7.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

Этап 7.7.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

Этап 7.8

Изменим порядок $x^{- \frac{3}{2}}$ и $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 10

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 12.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$