Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x)}{x^{5}}$

Этап 1

Запишем $\frac{\ln (x)}{x^{5}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\ln (x)}{x^{5}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int \ln (x) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 5} d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{- 5}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{4 x^{4}}) - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{x (4 x^{4})} d x$

Этап 6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 (x^{1} x^{4})} d x$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{1 + 4}} d x$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $4$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - - \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + 1 \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Этап 8.2

Умножим $\int \frac{1}{4 x^{5}} d x$ на $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 10

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 10.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 10.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$ в виде $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{4}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{x^{4} \cdot 4}) + C$

Этап 12.2.2

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4 \cdot x^{4}}) + C$

Этап 12.2.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{4 (4 x^{4})} + C$

Этап 12.2.4

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$