Математический анализ Примеры

$\cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 1

Запишем $\cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$ в виде функции.

$f (x) = \cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cot (x) (\sec (x) - \tan (x)) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \cot (x) \sec (x) + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

Этап 4.2

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\cot (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

$\int \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

Этап 4.3

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Изменим порядок $\cot (x)$ и $- \tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} - \tan (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.2

Добавим круглые скобки.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\tan (x) \cot (x)) d x$

Этап 4.3.3

Изменим порядок $\tan (x)$ и $\cot (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\cot (x) \tan (x)) d x$

Этап 4.3.4

Выразим $\cot (x) (- \tan (x))$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) d x$

Этап 4.3.5

Сократим общие множители.

$\int \frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) - 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int \csc (x) - 1 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \csc (x) d x + \int - 1 d x$

Этап 6

Интеграл $\csc (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C + \int - 1 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C - x + C$

Этап 8

Упростим.

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - x + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - x + C$