Математический анализ Примеры

$\sin (\ln (x))$

Этап 1

Запишем $\sin (\ln (x))$ в виде функции.

$f (x) = \sin (\ln (x))$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin (\ln (x)) d x$

Этап 4

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

$\int e^{u} \sin (u) d u$

Этап 5

Изменим порядок $e^{u}$ и $\sin (u)$ .

$\int \sin (u) e^{u} d u$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = \sin (u)$ и $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Этап 7

Изменим порядок $e^{u}$ и $\cos (u)$ .

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

Этап 8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = \cos (u)$ и $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Этап 10

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Этап 10.2

Умножим $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ на $1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Этап 11

Найдя решение для $\int e^{u} \sin (u) d u$ , получим $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

Этап 12

Перепишем $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ в виде $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Этап 14.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

Этап 14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Этап 14.4

Умножим $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Объединим $\sin (\ln (x))$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Этап 14.4.2

Объединим $\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ и $x$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Этап 14.5

Умножим $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

Этап 14.5.2

Объединим $x$ и $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Этап 14.6

Изменим порядок множителей в $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Этап 15

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin (\ln (x))$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$