Математический анализ Примеры

$\sec^{3} (θ)$

Этап 1

Запишем $\sec^{3} (θ)$ в виде функции.

$f (θ) = \sec^{3} (θ)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (θ)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (θ) = \int \sec^{3} (θ) d θ$

Этап 4

Вынесем множитель $\sec (θ)$ из $\sec^{3} (θ)$ .

$\int \sec (θ) \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sec (θ)$ и $d v = \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

Этап 6

Возведем $\tan (θ)$ в степень $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) d θ$

Этап 7

Возведем $\tan (θ)$ в степень $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Этап 9.2

Изменим порядок $\tan^{2} (θ)$ и $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \tan^{2} (θ) d θ$

Этап 10

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (θ)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec^{2} (θ)) d θ$

Этап 11

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \cdot - 1 + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Этап 11.3

Изменим порядок $\sec (θ)$ и $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \cdot \sec (θ) + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Этап 12

Возведем $\sec (θ)$ в степень $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec (θ) \sec (θ) d θ$

Этап 13

Возведем $\sec (θ)$ в степень $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Этап 14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Этап 15

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Этап 16

Возведем $\sec (θ)$ в степень $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) d θ$

Этап 17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{2 + 1} d θ$

Этап 18

Добавим $2$ и $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{3} (θ) d θ$

Этап 19

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\sec (θ) \tan (θ) - (\int - 1 \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Этап 20

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sec (θ) \tan (θ) - (- \int \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Этап 21

Интеграл $\sec (θ)$ по $θ$ имеет вид $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - (- (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Этап 22

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (θ) \tan (θ) - - (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Этап 22.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Этап 23

Найдя решение для $\int \sec^{3} (θ) d θ$ , получим $\int \sec^{3} (θ) d θ$ = $\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2} + C$

Этап 24

Умножим $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C$ на $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C}{2} + C$

Этап 25

Упростим.

$\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$

Этап 26

Ответ ― первообразная функции $f (θ) = \sec^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$