Математический анализ Примеры

$\sec (x) + \tan (x)$

Этап 1

Запишем $\sec (x) + \tan (x)$ в виде функции.

$f (x) = \sec (x) + \tan (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sec (x) + \tan (x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sec (x) d x + \int \tan (x) d x$

Этап 5

Интеграл $\sec (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C + \int \tan (x) d x$

Этап 6

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C + \ln (| \sec (x) |) + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + \ln (| \sec (x) |) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) | | \sec (x) |) + C$

Этап 7.2.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (\sec (x) + \tan (x)) \sec (x) |) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

$F (x) =$ $\ln (| (\sec (x) + \tan (x)) \sec (x) |) + C$