Математический анализ Примеры

$x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Этап 1

Запишем $x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ в виде функции.

$f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Этап 4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Этап 4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3 + 1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Этап 4.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Этап 4.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 4.4

Умножим $x^{3}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) d x$

Этап 4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3} d x$

Этап 4.4.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Этап 4.4.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 4.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 4.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 6}{2}} d x$

Этап 4.4.6.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{\frac{4}{3}} d x + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{4}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 \int x^{\frac{7}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{7}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + 3 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{9}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{6}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 (2)}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 9.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$