Математический анализ Примеры

$\frac{6}{x^{2} + 4}$

Этап 1

Запишем $\frac{6}{x^{2} + 4}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{6}{x^{2} + 4}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{6}{x^{2} + 4} d x$

Этап 4

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $4$ .

$6 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Этап 5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$6 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$6 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Этап 7.2

Перепишем $6 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$ в виде $6 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ .

$6 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 7.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 7.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 7.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 7.3.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$3 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Этап 7.4

Изменим порядок членов.

$3 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{6}{x^{2} + 4}$ .

$F (x) =$ $3 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$