Математический анализ Примеры

$(\frac{4}{x^{2}} + 1)$

Этап 1

Запишем $(\frac{4}{x^{2}} + 1)$ в виде функции.

$f (x) = (\frac{4}{x^{2}} + 1)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2}} + 1 d x$

Этап 4

Избавимся от скобок.

$\int \frac{4}{x^{2}} + 1 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{4}{x^{2}} d x + \int d x$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int d x$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int d x$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int d x$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \int x^{- 2} d x + \int d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (- x^{- 1} + C) + x + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$4 (- \frac{1}{x}) + x + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \frac{1}{x} + x + C$

Этап 10.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 4}{x} + x + C$

Этап 10.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x} + x + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 1$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + x + C$